Modulación angular
En el caso de modulación angular, se hace variar la frecuencia o
la fase de la portadora en función de la señal modulante. Así la modulación
angular tiene dos variantes: modulación de frecuencia, también llamada
frecuencia modulada (FM) y modulación de fase (PM). En ambos casos, la amplitud
de la onda modulada se mantiene constante.
Llamaremos:
ωc a la pulsación de la portadora sin modular y f c = ωc/ 2 π a su frecuencia (ambas serán constantes);
ec(t) = Êc senωct a la portadora sin modular;
em(t) a la señal modulante;
e(t) = Êc sen φ(t), a la señal modulada (1)
donde φ(t) = ωct + Ø(t), es su fase instantánea.
Dicha fase instantánea estará compuesta por la suma de dos componentes: ωct que varía
linealmente en función del tiempo y Ø(t)
que es proporcional a la señal modulante, que a su vez también será
función del tiempo. En ausencia de modulación: φ(t) = ωct.
La componente ωct puede ser considerada como la componente de
portadora del angulo de fase instantáneo y Ø(t) como la componente de modulación.
La pulsación y la frecuencia instantáneas de la onda modulada vendrán dada
por:
ω= d φ(t) / dt (2)
f = (1/2π) d φ(t) / dt (3)
Modulación de
frecuencia
La modulación de frecuencia se produce variando la frecuencia instantánea
de la onda modulada respecto a la frecuencia de portadora en forma proporcional
a la señal modulante:
f = f c + K´ em(t) (4)
ω= ωc
+ K em(t) (5)
Reemplazando (5) en (2):
ωc + K em(t) = d φ(t) /
dt (6)
Despejando φ(t) de la (6) :
φ(t) = ∫ [ ωc + K em(t) ] dt
φ(t) = ωc t + K ∫ em(t) dt (7)
Reemplazando φ(t) dado por la (7) en
la expresión general de la onda modulada con modulación angular dada por la (1):
e(t) = Êc sen [ ωc t + K ∫ em(t) dt ] (8)
La (8) es la expresión general de la onda modulada en frecuencia, válida
para cualquier forma de onda de la señal modulante.
Modulación de
frecuencia con un tono de audio
Si ahora consideramos el caso particular en que la modulante sea
cosinusoidal:
em(t) = Êm cos ωm t
(9)
Introduciendo la (9) em (8):
e(t) = Êc sen [ ωc t + K ∫ Êm cos ωm t dt ]
Si resolvemos la integral, recordando que la integral del coseno de una
variable (t) multiplicada por una constante (ωm), es el seno,
sin cambiar el signo, de la variable multiplicada por la constante, dividido
por la constante (ωm):
e(t) = Êc sen [ ωc t + (K Êm/ωm) sen ωm t ]
(10)
La
(10) es la expresión de la onda modulada en frecuencia (FM) con un tono de
pulsación ωm y amplitud Êm y su
representación gráfica se muestra en la Fig.1 .
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Fig.1 – Señal modulante y onda modulada en frecuencia con un tono
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La fase instantánea dada por la (7), para una modulante cosinusoidal, se
puede escribir de la siguiente manera:
φ(t) = ωc t + K ∫ em(t)
dt =
ωc t + (K Êm/ωm) sen ωm t (11)
Y la pulsación instantánea
dada por la (5), para modulante cosinusoidal:
ω= ωc
+ K em(t)
= K Êm cos ωm t
(12)
La frecuencia instantánea para modulante sinusoidal, dada por (4), se
transforma en:
f = f c + K´ em(t) = f c + (K Êm/ 2π) cos ωm t (13)
Llamaremos :
Δ φ = K Êm/ωm (14)
Δω= K Êm (15)
Δ f = K Êm/ 2π (16)
(14), (15) y (16) representan la
máxima desviación de la fase, pulsación y frecuencia instantáneas, respecto a
la fase, pulsación y frecuencia de la portadora, respectivamente,
Definiremos al índice de modulación de
frecuencia mf, como el cociente entre la máxima desviación de la
frecuencia instantánea de la onda modulada respecto a la frecuencia de
portadora Δ f y la frecuencia modulante fm.
mf = Δ f / fm (17)
Considerando las ecuaciones (14), (15) y (16), la (17), puede escribirse
también así:
mf = Δ f / fm =
K Êm/ 2π fm = K Êm/ ωm = Δω/ ωm = Δ φ (18)
Utilizando la (18), la expresión (10) se puede escribir así:
e(t) = Êc sen [ ωc t + mf sen ωm t ] (19)
Espectro de
frecuencia de la señal de FM
Aplicando trigonometría, la (19) se puede escribir así:
e(t) = Êc [ sen ωc t cos ( mf sen ωm t )
+ cos ωc t sen ( mf sen ωm t ) ]
(20)
Pero cos ( mf
sen ωm t ) y sen ( mf sen ωm t ) son desarrollables
por medio de las funciones de Bessel:
∞
cos ( z sen θ ) = Jo (z) +2 Σ J2n (z)
cos 2n θ (21)
n=1
∞
sen ( z sen θ ) = 2 Σ J2n-1
(z) sen (2n-1) θ (22)
n=1
Haciendo:
z=mf
θ = ωm t
Reemplazando (21) y (22) en (20):
∞ ∞
e(t) = Êc {(senωc t) [Jo (mf)
+2 Σ J2n (mf) cos 2nωm t] +(cos ωc t ) [ 2 Σ J2n-1 (z) sen (2n-1) ωm t ] }
n=1
n=1
Desarrollando, se tiene:
e(t) = Êc [Jo (mf) senωc t + 2J1 (mf) senωm t cos ωc t +
+ 2
J2 (mf) cos2ωm t senωc t +
+ 2
J3 (mf) sen3 ωc t cosωc t +
+ 2
J4 (mf) cos4 ωc t senωc t + ………….] (23)
En (23) se puede aplicar la identidad trigonométrica:
sen α . cos β = ½ [ sen(α
+ β) + sen (α – β)]
De esta forma la (23) nos quedará de la manera siguiente:
e(t) = Êc {Jo (mf) senωc t + J1 (mf) [sen (ωc+ωm)t - sen (ωc-ωm)t ] +
+ J2 (mf)
[sen (ωc+2ωm)t + sen (ωc-2ωm)t ] +
+ J3
(mf) [sen (ωc+3ωm)t - sen (ωc-3ωm)t ] +
+………….]
(24)
Las
funciones Jo (mf), J1(mf),
J2(mf)...Jn (mf) son funciones de Bessel de primera especie, orden n y
argumento mf. En la Fig.2
se muestra la representación gráfica de las funciones de Bessel de orden 0, 1,
2 y 3, en función de mf.
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Fig.2
Representación gráfica de las cuatro primeras funciones de Bessel en función de
mf.
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En
la ecuación (24) se ve que la señal modulada en frecuencia está compuesta por
la portadora y un número infinito de bandas laterales de amplitudes ÊcJn(mf), separadas de la frecuencia de portadora f c por múltiplos de fm, hacia arriba y
hacia debajo de ella, de modo que para evaluar la amplitud de una banda lateral
determinada, es necesario conocer el valor de la función de Bessel
correspondiente. En la Fig.3
se han representado en el plano de frecuencia la amplitud de la portadora y del
primer par de bandas laterales. Esta representación será válida para un valor
del índice de modulación mf. Cada vez que cambie mf, cambiarán todas las
amplitudes del espectro de la señal de FM.
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Fig.3
– Espectro en frecuencia de una señal de FM
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Para
sacar algunas conclusiones importantes, necesitamos analizar el comportamiento
de funciones de Bessel de mayor orden que el 3, mostrado en la Fig. 2. En la Tabla 1 se dan los valores
de las funciones Bessel de orden 0
a 16, para valores del argumento mf de 0 a 8 y, en la figura 4, se muestra la gráfica de las funciones de Bessel
de orden 0 a
8, que corresponden a la portadora y a las amplitudes de las primeras ocho
pares de bandas laterales para cada índices de modulación. el parámetro de cada
curva debe ser interpretado como m=mf.
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| Tabla 1- El valor de cada función de Bessel para un valor de mf dado puede ser +/-, no obtante en la tabla no se ha incorporado dicho signo. Los guiones indican que las funciones de Bessel de ese orden son nulas para ese índice de modulación |
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Fig.4
– funciones de Bessel de orden
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Observando
la Fig.4 , se
puede ver que si consideramos un valor de mf=2, por ejemplo, tendrán un valor
significativo las funciones de Bessel Jo (2), J1(2), J2(2), J3(2) y J4(2). Las funciones de Bessel de mayor
orden, serán nulas.
Si
ahora tomamos un valor de mf de 4, las funciones de Bessel significativas serán
Jo, J1, J2, J3, J4, J5, J6, y J7.
Es
decir que cuanto menor sea el índice de modulación, menor será la cantidad de
funciones de Bessel con un valor significativo y menor será el número de bandas
laterales significativas, por lo que menor será el ancho de banda que ocupe la
señal de FM.
En
base a este razonamiento, podemos establecer la siguiente ecuación, para
expresar el ancho de banda necesario para la señal de FM:
B
= 2nmax
fm (25)
Donde
B es el ancho de banda, fm la frecuencia
modulante y nmax es el máximo orden de las funciones de Bessel significativas
para el ídice de modulación que se utilice
Ejemplo
Calcular el ancho de banda necesario
para una señal de FM con los siguientes datos:
fc = 97,5 MHz
Δ f = 10KHz
fm = 10KHz
mf = Δ
f / fm = 10/ 10 = 1
Para mf=1, el mayor orden significativo de las funciones de Bessel em juego
será nmax=3, según la Tabla
1. Tendremos que considerar que tenemos 3 pares de bandas laterales.
Usando la expresión (25):
B = 2nmax fm = 2x3x
10= 60
KHz
Modulación
digital de frecuencia
FSK (Frequency
Shift Keying) (Manipulación por Desplazamiento de Frecuencia)
Esta es una forma de modular una portadora sinusoidal cuando la señal
modulante es una señal digital. Al dígito binario 1 (marca) se le hace corresponder
una frecuencia mayor que la de la portadora y al dígito binario 0 (espacio) una
frecuencia menor que la de la portadora. O sea que la frecuencia de portadora,
en ausencia de modulación, tendrá un valor intermedio entre ambas frecuencias
moduladas por las señales de marca y espacio.
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Fig.5
- FSK
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e(t) = Êc sen [(ωc +/- Δω) t] (26)
correspondiendo el signo (+) a marca y el signo (–) a espacio.
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Necesito hallar el ancho de banda mínimo y real mediante la tabla de funciones de Bessel. Pero el valor de mi índice de modulación es 0.8 y no concuerda con ningún valor de la tabla. Que me recomiendan?
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